Paul Handschke wurde 1993 in München geboren. Im Alter von fünf Jahren bekam er seinen ersten Cellounterricht bei Stefan Bohn, später bei Michael Weiß und David Grigorian – zusätzlich hat er an Meisterkursen der bekanntesten Cellopädagogen, wie z.B. Wen-Sinn Yang, Wolfgang Emanuel Schmidt, Jens-Peter Maintz oder David Geringas teilgenommen. Mehrfache Preise beim Wettbewerb „Jugend Musiziert“ auf Bundesebene in den Kategorien „Violoncello solo“ und „Streichquartett“, Erste Preise bei Wettbewerben für Jugendkammerorchester und die Verleihung des Kulturförderpreises des Vereins der Pasinger Mariensäule e.V. folgten in der Zeit bis zum Studium.
Im Jahr 2016 hat er sowohl den Förderpreis und ein Stipendium beim Oberstdorfer Musiksommer als auch den Studienpreis des renommierten Migros-Kulturprozent (CH) gewonnen – im darauffolgenden Jahr wurde er ausserdem durch die Verlängerung des Studienpreises mit der Aufnahme in die Konzertvermittlung bedacht.
In der Saison 2014/15 hatte er einen Zeitvertrag im Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks, 2015/16 war er als Praktikant im Tonhalle-Orchester Zürich tätig; ausserdem ist er unter anderem im Zürcher Kammerorchester und im Sinfonieorchester St. Gallen Zuzüger.
Von 2012 bis 2018 hat er bei Thomas Grossenbacher an der Zürcher Hochschule der Künste studiert. Seit 2018 macht er einen Master bei Prof. Maximilian Hornung an der Musikhochschule München.
Im März 2018 hat er eine feste Stelle im Tonhalle-Orchester Zürich angetreten, ab Februar 2022 wird er dort als Solocellist tätig sein.